父母对子女有抚养教育的义务，父母不履行义务时，未成年的或者不能独立生活的子女，有要求父母给付抚养费的权利。父亲死亡后，如果继母同意继续抚养孩子，继母可以要求的亲生母亲支付抚养费。孩子的亲生母亲不能以继母继承了前夫遗产为由拒绝支付抚养费。如果孩子的亲生母亲想要抚养孩子，也是可以的，不过此时继母无需支付抚养费。

法律依据：

《中华人民共和国婚姻法》第21条：

父母对子女有抚养教育的义务;子女对父母有赡养扶助的义务。父母不履行抚养义务时，未成年的或不能独立生活的子女，有要求父母付给抚养费的权利。从子女出生时开始，到子女达到成年年龄乃至具有独立生活能力为止，父母无论经济条件、劳动能力如何，也无论是否愿意，均必须依法承担抚养义务。